Cách tính tích phân của hàm phân thức hữu tỉ nhanh nhất & bài tập

Cách tính tích phân của hàm phân thức hữu tỉ nhanh nhất & bài tập

Chuyên đề tích phân là chuyên đề chủ đạo của chương trình Toán 12 nhưng hơi phức tạp. Nếu bạn muốn nắm chắc hơn các công thức tính tích phân hãy theo dõi các bài viết của thcs Hồng Thái nhé ! Ở bài trước chúng tôi đã chia sẻ phương pháp tích phân từng phần, bài viết này các bạn sẽ được tìm hiểu cách tính tích phân của hàm phân thức hữu tỉ nhanh nhất. 

Bạn đang xem: Cách tính tích phân của hàm phân thức hữu tỉ nhanh nhất & bài tập

I. LÝ THUYẾT CHUNG

1. Hàm phân thức hữu tỉ là gì?

Bạn đang xem: Cách tính tích phân của hàm phân thức hữu tỉ nhanh nhất & bài tập

Một hàm một biến được gọi là một hàm phân thức khi và chỉ khi nó có thể viết được dưới dạng

Trong đó và  là các đa thức đối với và  không phải là một đa thức không. Tập xác định của là tập hợp các điểm mà tại đó mẫu thức khác 0.

Tất cả các đa thức đều là phân thức với . Một hàm số không viết được dưới dạng trên thì không phải là một phân thức (ví dụ, f(x)=sin(x)}).

Một biểu thức có dạng  được gọi là một biểu thức phân thức. Trong đại số trừu tượng,  không bắt buộc là biến số.

Một phương trình phân thức là một phương trình trong đó hai biểu thức phân thức bằng nhau. Các biểu thức đó cũng phải tuân theo các quy tắc trong phân số. Phương trình này có thể được giải bằng luật ba.

2. Các dạng tích phân cơ bản

– Đến đây, có nhiều cách giải. Có thể đặt x = tan(t) để đưa về dạng lượng giác hoặc dùng công thức tích phân từng phần để thu được hệ thức truy hồi. Bạn đọc tự giải tiếp.

Sau khi đã làm thành thạo các dạng tích phân cơ bản trên (các bạn có thể tự đặt ra đề toán để luyện tập và kiểm tra lại bằng máy tính), chúng ta sử dụng các phương pháp thêm bớt để đưa tất cả các bài tích phân hàm phân thức hữu tỉ trở về một trong 4 dạng đã biết cách làm. Phương pháp được trình bày như sau:

II. CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ 

Bài toán: Tính  . Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức theo biến x có bậc lần lượt là m và n.

    • Trường hợp 1: m ≥ n.

Lấy P(x) chia cho Q(x) để đưa về các nguyên hàm cơ bản.

    • Trường hợp 2: m < n. Phương pháp hệ số bất định

        Bước 1: Đưa Q(x) về dạng Q(x)=(ax+b) (cx+d)ⁿ(px²+qx+r)

(Trong đó px²+qx+r=0 vô nghiệm).

        Bước 2: Đặt

        Bước 3: Quy đồng mẫu và đồng nhất hệ số của (1) để tìm các giá trị A, B, C, …, M, N, P.

Xem thêm : Tình hình chính trị – xã hội đã ảnh hưởng như thế nào tới tiến trình phát triển văn minh Ấn Độ cổ – trung đại? | SBT Sử 10 Chân trời sáng tạo

Một số trường hợp đặc biệt:

    a) Bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) 1 đơn vị (m=n-1).

Thử đặt t = Q(x) và tính dt.

    • Nếu dt = k. P(x)dx thì sử dụng 

    • Nếu dt ≠ k. P(x)dx thì sử dụng phương pháp hệ số bất định.

    b) Tích phân dạng :

    • Nếu ax²+bx+c=0 có 2 nghiệm phân biệt thì sử ta sử dụng phương pháp hệ số bất định.

    • Nếu ax²+bx+c=0 có nghiệm kép x=x₀ thì , sau đó đặt t=x-x₀.

    • Nếu ax²+bx+c=0 vô nghiệm thì ta sử dụng phương pháp lượng giác hoá.

    c) Một số nguyên hàm cần nhớ:

VÍ DỤ:

III. BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ

Bài 1: Tính tích phân

Xem thêm : Hướng dẫn cách làm Rubik 2×2 bằng giấy chơi được

Hướng dẫn:

Bài 2: Tính tích phân

Xem thêm : Hướng dẫn cách làm Rubik 2×2 bằng giấy chơi được

Hướng dẫn:

Bài 3: Tính tích phân

Xem thêm : Hướng dẫn cách làm Rubik 2×2 bằng giấy chơi được

Hướng dẫn:

Bài 4: Tính tích phân

Xem thêm : Hướng dẫn cách làm Rubik 2×2 bằng giấy chơi được

Hướng dẫn:

Bài 5: Tính tích phân

Xem thêm : Hướng dẫn cách làm Rubik 2×2 bằng giấy chơi được

Hướng dẫn:

Bài 6: Tính tích phân

Hướng dẫn:

Bài 7: Tính tích phân

Hướng dẫn:

Bài 8: Tính tích phân

Hướng dẫn:

Trên đây thcs Hồng Thái đã chia sẻ đến quý thầy cô và các bạn học sinh Cách tính tích phân của hàm phân thức hữu tỉ hay nhất và bài tập vận dụng. Hi vọng, đây sẽ nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Cảm ơn các bạn đã đồng hành cùng bài viết ! Xem thêm phương pháp tích phân từng phần nữa bạn nhé !

Đăng bởi: thcs Hồng Thái

Bản quyền bài viết thuộc Trường THCS Hồng Thái Hải Phòng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: Trường thcs Hồng Thái (thcshongthaiad.edu.vn)