Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức – Toán lớp 9

606 5 minutes read

Có thể bạn quan tâm

Tìm giá tị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức (biểu thức chứa dấu căn, biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,…) là một trong những dạng toán lớp 9 có nhiều bài tương đối khó và đòi hỏi kiến thức vận dụng linh hoạt trong mỗi bài toán.

Bạn đang xem: Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức – Toán lớp 9

Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức (biểu thức đại số chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối,…) qua một số bài tập minh họa cụ thể.

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

– Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A²(x) + const ;(A biểu thức theo x, const = hằng số).

* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x² + 2x – 3. Tìm GTNN của A.

Xem thêm : Viết công thức xác định vị trí các vân sáng.

° Lời giải:

– Ta có: A = x² + 2x – 3 = x² + 2x + 1 – 1 – 3 = (x + 1)² – 4

– Vì (x + 1)² ≥ 0 ⇒ (x + 1)² – 4 ≥ -4

⇒ A ≥ – 4 dấu bằng xảy ra, tức A = – 4 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1

– Kết luận: A_min = -4 khi và chỉ khi x = -1.

* Ví dụ 2: Cho biểu thức: A = -x² + 6x – 5. Tìm GTLN của A.

Xem thêm : Viết công thức xác định vị trí các vân sáng.

° Lời giải:

– Ta có: A = -x² + 6x – 5 = -x² + 6x – 9 + 9 – 5 = -(x – 3)² + 4 = 4 – (x – 3)²

– Vì (x – 3)² ≥ 0 ⇒ -(x – 3)² ≤ 0 ⇒ 4 – (x – 3)² ≤ 4

⇒ A ≤ 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 ⇔ x – 3 = 0 ⇔ x = 3

– Kết luận: A_max = 4 khi và chỉ khi x = 3.

* Ví dụ 3: Cho biểu thức: $small A=frac{1}{x^2+2x+5}$

– Tìm x để A_max; tính A_max =?

Xem thêm : Viết công thức xác định vị trí các vân sáng.

° Lời giải:

– Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức (x² + 2x + 5) đạt giá trị nhỏ nhất.

– Ta có: x² + 2x + 5 = x² + 2x + 1 + 4 = (x + 1)² + 4

– Vì (x + 1)² ≥ 0 nên (x + 1)² + 4 ≥ 4

dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x + 1 = 0 ⇔ x = -1

Vậy $small Min_{(x^2+2x+5)}=4Leftrightarrow x=-1$

$small Rightarrow Max_{A}=frac{1}{4}Leftrightarrow x=-1$

Hay học hỏi dn1

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

– Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:

$small sqrt{-A^{2}(x)+b}le sqrt{b}; extrm{ }(0le b)$ hoặc $small sqrt{b}lesqrt{A^{2}(x)+b}; extrm{ }(0le b)$

– Dấu “=” xảy ra khi A = 0.

* Ví dụ 1: Tìm GTNN của biểu thức: $small A = 9+sqrt{2x^2-4x+5}$

Xem thêm : Viết công thức xác định vị trí các vân sáng.

° Lời giải:

– Ta thấy: $sqrt{2x^2-4x+5}=small sqrt{(2x^2-4x+2)+3}$

$small =sqrt{2(x^2-2x+1)+3}=sqrt{2(x-1)^2+3}$

Vì (x – 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x – 1)² ≥ 0 ⇒ 2(x – 1)² + 3 ≥ 3

nên $small Rightarrow sqrt{2(x-1)^2+3}>=sqrt{3}$ dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{min}=9+sqrt{3}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 2: Tìm GTLN của biểu thức: $small A=sqrt{-3x^2+6x+2}$

Xem thêm : Viết công thức xác định vị trí các vân sáng.

° Lời giải:

– Ta có: $A=\sqrt{-3x^2+6x+2}=\sqrt{(-3x^2+6x-3)+3+2}$

$small =sqrt{-3(x^2-2x+1)+5}=sqrt{-3(x-1)^2+5}$

Vì (x – 1)² ≥ 0 ⇒ -3(x – 1)² ≤ 0 ⇒ -3(x – 1)² + 5 ≤ 5

nên $small Rightarrow sqrt{-3(x-1)^2+5}lesqrt{5}$ dấu “=” xảy ra khi x – 1 = 0 ⇔ x = 1

$small Rightarrow A_{max}=sqrt{5}Leftrightarrow x=1$

* Ví dụ 3: Tìm GTLN của biểu thức:

$small A=sqrt{x^2+y^2-2xy+2x-2y+7}+2y^2-8y+2020$

Xem thêm : Viết công thức xác định vị trí các vân sáng.

° Lời giải:

– Ta có: $small sqrt{(x^2+y^2-2xy)+(2x-2y)+7}+2y^2-8y+2020$

$small =sqrt{(x-y)^2+2(x-y)+7}+(2y^2-8y+8)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)^2+2(x-y)+1]+6}+2(y^2-4y+4)+2012$

$small =sqrt{[(x-y)+1]^2+6}+2(y-2)^2+2012$

small Rightarrow A>=sqrt{6}+2012 nên giá trị nhỏ nhất của B là small 2012+sqrt{6} đạt được khi:

$small left{egin{matrix} x-y+1=0\ y-2=0 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} x= 1\ y=2 end{matrix} ight.$

* Ví dụ 4: Tìm GTLN của biểu thức: $small dpi{100} small A=frac{1}{x-sqrt{x}+2}$

Xem thêm : Viết công thức xác định vị trí các vân sáng.

° Lời giải:

– Điều kiện: x≥0

– Để A đạt giá trị lớn nhất thì small x-sqrt{x}+2 đạt giá trị nhỏ nhất

– Ta có: $small x-sqrt{2}+2=left (sqrt{x} ight )^2-2.frac{1}{2}sqrt{x}+frac{1}{4}-frac{1}{4}+2$

$small =left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}$

Lại có: $small left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2>=0,forall x>=0$ $small Rightarrow left ( sqrt{x} -frac{1}{2} ight )^2+frac{7}{4}>=frac{7}{4},forall x>=0$

Dấu”=” xảy ra khi $small sqrt{x}-frac{1}{2}=0Leftrightarrow x=frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow Min(x-\sqrt{x}+2)=\frac{7}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

$\small \Rightarrow MaxA=\frac{4}{7}\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}$

– Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.

° Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

* Phương pháp: (đối với biểu thức 1 biến số)

Xem thêm : Giải đáp ý nghĩa tên Thiên An – đặt tên này có phạm húy không?

– Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối.

* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức: small A=5-|2x-2|

Xem thêm : Viết công thức xác định vị trí các vân sáng.

° Lời giải:

– Ta có: |2x – 2| ≥ 0 ⇔ -|2x – 2| ≤ 0 ⇔ 5 -|2x – 2| ≤ 5

Dấu “=” xảy ra khi |2x – 2| = 0 ⇔ 2x – 2 = 0 ⇔ x = 1

Vậy A_max = 5 ⇔ x = 1

* Ví dụ 2: Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 – x| – 3

Xem thêm : Viết công thức xác định vị trí các vân sáng.

° Lời giải:

– Ta có: |9 – x| ≥ 0 ⇔ |9 – x| ≥ 0 ⇔ |9 – x| – 3 ≥ -3

Dấu “=” xảy ra khi |9 – x| = 0 ⇔ 9 – x = 0 ⇔ x = 9

Vậy A_min = -3 ⇔ x = 9

Như vậy, các bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm (bình phương, trị tuyệt đối,…) và hằng số để tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy (Cosi) cho hai số a, b không âm: small a+b>=2sqrt{ab} (Dấu “=” xảy ra khi a =b) hay áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: small |a|+|b|>=|a+b| (dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b≥ 0); small |a-b|le|a|+|b| , (dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a.b≤ 0).

* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $small M=frac{a}{b}+frac{b}{a}, extrm{ }forall a,b>0$

Xem thêm : Viết công thức xác định vị trí các vân sáng.

° Lời giải:

– Vì a,b>0 nên $small frac{a}{b}>0; extrm{ }frac{b}{a}>0$

– Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Arithmetic Means – Geometric Means)).

$small frac{a}{b}+frac{b}{a}>=2sqrt{frac{a}{b}.frac{b}{a}}=2$

Dấu “=” xảy ra khi $small frac{a}{b}=frac{b}{a}Leftrightarrow a=b$

– Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 ⇔ a = b.

* Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $small M=a+frac{1}{a-1}, extrm{ }forall a>1$

Xem thêm : Viết công thức xác định vị trí các vân sáng.

° Lời giải:

– Vì a > 1 nên a – 1 > 0 ta có:

$small a+frac{1}{a-1}=a-1+frac{1}{a-1}+1$ [Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được]

$small a-1+frac{1}{a-1}+1>=2sqrt{(a-1)left ( frac{1}{a-1} ight )}+1=2+1=3$

Dấu “=” xảy ra khi $small a-1=frac{1}{a-1}Leftrightarrow (a-1)^2=1Leftrightarrow Leftrightarrow left [egin{matrix} a=2\ a=0 end{matrix} ight.$

Đối chiếu điều kiện a > 1 nên chỉ nhận a = 2; loại a = 0.

– Kết luận: GTNN của M = 3 ⇔ a = 2.

Hy vọng với bài viết Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN, Max) và giá trị nhỏ nhất (GTNN, Min) của biểu thức ở trên giúp các em hiểu rõ hơn về dạng toán này.

Việc vận dụng vào mỗi bài toán đòi hỏi kỹ năng làm toán của các em, kỹ năng này có được khi các em chịu khó rèn luyện qua nhiều bài tập, chúc các em học tốt.

Đăng bởi: thcs Hồng Thái

Chuyên mục: Giáo Dục

Bản quyền bài viết thuộc Trường THCS Hồng Thái Hải Phòng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: Trường thcs Hồng Thái (thcshongthaiad.edu.vn)

Nguồn: https://thcshongthaiad.edu.vn
Danh mục: Tra Cứu

THCS Hồng Thái

606 5 minutes read