Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên – Toán 9 chuyên đề

4 4 minutes read

Có thể bạn quan tâm

Đuông dừa là gì? Tác dụng và cách làm món ăn từ đuông dừa
Dựa vào các tư liệu tham khảo trên mạng internet, em hãy nêu một giả thuyết của các nhà khoa học giải thích vì sao chim bồ câu có thể định hướng bay trở về chỗ ban đầu mà không bị lạc.
Hướng dẫn khảo sát và vẽ đồ thị hàm số lượng giác cùng các dạng toán
Nguyên tố xenon (Xe) có 8 electron ở lớp ngoài cùng. Hãy cho biết xenon là kim loại, phi kim hay khí hiếm? Ở điều kiện thường xenon tồn tại ở thể nào?
Sinh trưởng ở động vật là | SBT Khoa học tự nhiên 7 cánh diều

Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nguyên là một trong nhưng dạng toán lớp 9 xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đây là dạng toán đòi hỏi sự biến đổi linh hoạt và vận dụng cao năm vững kiến thức về ước và bội của số nguyên ở các lớp trước.

Bạn đang xem: Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên – Toán 9 chuyên đề

Bài viết này các em hãy cùng thcs Hồng Tháitìm hiểu cách giải bài toán tìm giá trị của x để biểu thức nguyên, vận dụng vào giải một số bài tập minh họa để nắm vững cách giải nhé.

A. Phương pháp tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

Để tìm giá trị của x để biểu thức nguyên ta thực hiện các bước sau:

+ Bước 1: Biến đổi biểu thức về dạng: $\small A=f(x)+\frac{k}{g(x)}$ trong đó f(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên.

+ Bước 2: Để biểu thức A nhận giá trị nguyên thì $\small \frac{k}{g(x)}$ phải có giá trị nguyên hay $\dpi{100} \small k\vdots g(x)$ tức là g(x) thuộc tập ước của k.

+ Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x

+ Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán

B. Ví dụ minh họa tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

* Ví dụ 1: Tìm giá trị của x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên: $\dpi{100} \small A=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}$

Xem thêm : Xịn sò hay xịn xò là đúng chính tả? Có đến 90% người dùng bị sai

Xem thêm : Sơ đồ tư duy Bình Ngô đại cáo – Nguyễn Trãi

* Lời giải:

– Điều kiện A xác định là căn bậc 2 có nghĩa: x ≥ 0.

Ta có: $\small A=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}=\frac{\sqrt{x}+2+2}{\sqrt{x}+2}$ $\small =1+\frac{2}{\sqrt{x}+2}$

Để A nhận giá trị nguyên thì $\small \frac{2}{\sqrt{x}+2}$ nguyên (tức $\small \frac{2}{\sqrt{x}+2}\in \mathbb{Z}$ )

$\small \Leftrightarrow ({\sqrt{x}+2})\in U(2)= \left \{ +2;-2 \right \}$

– TH1: $\small \sqrt{x}+2=-2\Rightarrow \sqrt{x}=-4$ (loại)

– TH2: $\small \sqrt{x}+2=2\Rightarrow \sqrt{x}=0\Rightarrow x=0$ (thỏa)

Vậy với x = 0 thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.

* Ví dụ 2: Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên:

$\small P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}$

Xem thêm : Xịn sò hay xịn xò là đúng chính tả? Có đến 90% người dùng bị sai

Xem thêm : Sơ đồ tư duy Bình Ngô đại cáo – Nguyễn Trãi

* Lời giải:

Các em chú ý điều kiện để P xác định là căn bậc 2 không âm và mẫu thức khác không.

Điều kiện xác định: $\small \left\{\begin{matrix} x\geq 0\ \sqrt{x}-3\neq 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0\ x\neq 9 \end{matrix}\right.$

Ta có: $\small P=\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}=\frac{\sqrt{x}-3+5}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{5}{\sqrt{x}-3}$

Biểu thức P nhận giá trị nguyên khi $\small \frac{5}{\sqrt{x}-3}$ có giá trị nguyên:

$\small \Rightarrow \sqrt{x}-3\in U(5)=\left \{ -1;1;-5;5 \right \}$

Ta biết rằng khi x là số nguyên thì hoặc $\small \sqrt{x}$ là số nguyên (nếu x là số chính phương) hoặc $\small \sqrt{x}$ là số vô tỉ (nếu x không là số chính phương)

Để $\small \frac{5}{\sqrt{x}-3}$ là số nguyên thì $\small \sqrt{x}$ phải là số nguyên (không thể là số vô tỉ)

⇒ $\small \small \sqrt{x}-3$ là ước tự nhiên của 5

Ta có các trường hợp như sau:

– TH1: $\small \sqrt{x}-3=1\Rightarrow \sqrt{x}=4\Rightarrow x=16$ (thỏa)

– TH2: $\small \sqrt{x}-3=-1\Rightarrow \sqrt{x}=2\Rightarrow x=4$ (thỏa)

– TH3: $\small \sqrt{x}-3=5\Rightarrow \sqrt{x}=8\Rightarrow x=64$ (thỏa)

– TH4: $\small \sqrt{x}-3=-5\Rightarrow \sqrt{x}=-2$ (loại)

Vậy để biểu thức P đạt giá trị nguyên thì x ∈ {4; 16; 64}

* Ví dụ 3: Tìm giá trị của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên:

$\small B=\frac{x^2+x-2}{x+1}$

Xem thêm : Xịn sò hay xịn xò là đúng chính tả? Có đến 90% người dùng bị sai

Xem thêm : Sơ đồ tư duy Bình Ngô đại cáo – Nguyễn Trãi

* Lời giải:

– Điều kiện xác định (mẫu thức khác 0): x + 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ -1.

Ta có: $\small B=\frac{x^2+x-2}{x+1}$ $\small =\frac{x(x+1)-2}{x+1}=x-\frac{2}{x+1}$

Vậy để B nhận giá trị nguyên thì $\small x-\frac{2}{x+1}\in \mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{2}{x+1}\in \mathbb{Z}$

⇔ x + 1 ∈ Ư(2) = {-1; 1; -2;2}

– TH1: x + 1 = -1 ⇒ x = -2

– TH1: x + 1 = 1 ⇒ x = 0

– TH1: x + 1 = -2 ⇒ x = -3

– TH1: x + 1 = 2 ⇒ x = 1

Vậy B nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-3; -2; 0; 1}.

* Ví dụ 4: Tìm giá trị nguyên của x để P = (x+3)/(x – 2) nhận giá trị nguyên

Xem thêm : Xịn sò hay xịn xò là đúng chính tả? Có đến 90% người dùng bị sai

Xem thêm : Sơ đồ tư duy Bình Ngô đại cáo – Nguyễn Trãi

* Lời giải:

– Ta có: $\small P=\frac{x+3}{x-2}=\frac{(x-2)+5}{x-2}=1+\frac{5}{x-2}$

Để P nhận giá trị nguyên thì $\small \frac{5}{x-2}$ nhận giá trị nguyên

Nên (x – 2) ∈ Ư(5) = {-1; 1; -5; 5}

– TH1: x – 2 = -1 ⇒ x = 1

– TH2: x – 2 = 1 ⇒ x = 3

– TH3: x – 2 = -5 ⇒ x = -3

– TH4: x – 2 = 5 ⇒ x = 7

Vậy P = (x+3)/(x – 2) nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-3; 1; 3 ; 7}

* Ví dụ 5: Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên:

$\small A=\frac{x^2-x+2}{x-3}$

Xem thêm : Xịn sò hay xịn xò là đúng chính tả? Có đến 90% người dùng bị sai

Xem thêm : Sơ đồ tư duy Bình Ngô đại cáo – Nguyễn Trãi

* Lời giải:

– Ta có: $\small A=\frac{x^2-x+2}{x-3}$

$\small =\frac{x(x-3)}{x-3}+\frac{2(x-3)}{x-3}+\frac{8}{x-3}$ $\small =x+2+\frac{8}{x-3}$

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì $\small \frac{8}{x-3}$ nhận giá trị nguyên

Nên (x – 3) là ước của 8: (x – 3) ∈ U(8) = {-1; 1; -2; 2; -4; 4; -8; 8}

– TH1: x – 3 = -1 ⇒ x = 2

– TH2: x – 3 = 1 ⇒ x = 4

– TH3: x – 3 = -2 ⇒ x = 1

– TH4: x – 3 = 2 ⇒ x = 5

– TH5: x – 3 = -4 ⇒ x = -1

– TH6: x – 3 = 4 ⇒ x = 7

– TH7: x – 3 = -8 ⇒ x = -5

– TH8: x – 3 = 8 ⇒ x = 11

Vậy A nhận giá trị nguyên khi x ∈ {-5; -1; 1; 2; 4; 5; 7; 11}

* Ví dụ 6: Tìm giá trị của x để biểu thức Q nhận giá trị nguyên

$\small Q=\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}$

Xem thêm : Xịn sò hay xịn xò là đúng chính tả? Có đến 90% người dùng bị sai

Xem thêm : Sơ đồ tư duy Bình Ngô đại cáo – Nguyễn Trãi

* Lời giải:

– Điều kiện x ≥ 0.

– Trường hợp x = 0 thay vào Q ta được: Q = 0

– Trường hợp x > 0, ta chia tử thức và mẫu thức cho $\small \sqrt{x}$

Ta được: $\small \frac{2}{\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với:

$\small \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\geq 2.\sqrt[4]{x}.\frac{1}{\sqrt[4]{x}}=2$

$\small \Rightarrow \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\geq 2-1$

$\Rightarrow \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1\geq 1>0$

$\small \Rightarrow 0<\frac{1}{\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}}}\leq \frac{1}{1}$ (nghịch đảo 2 vế, bất đẳng thức đổi chiều)

$\small \Rightarrow0< \frac{2}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1}\leq 2$ hay 0 < Q ≤ 2.

Vậy Q nguyên ⇔ Q = 1 hoặc Q = 2.

– Với Q = 1, ta có: $\small \frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=1$

$\small \Leftrightarrow x-\sqrt{x}+1=2\sqrt{x}$

$\small \Leftrightarrow x-3\sqrt{x}+1=0$ (*)

Đặt $\small \sqrt{x}=t\geq 0$ phương trình (*) trở thành

t² – 3t + 1 = 0

Giải phương trình bậc 2 này ta được: $\small t=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}$

$\small \Rightarrow x=\frac{7\pm 3\sqrt{5}}{2}\: (t.m)$

– Với Q = 2, ta có: $\small \frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=2$

$\small \Leftrightarrow 2x-2\sqrt{x}+2=2\sqrt{x}$

$\small \Leftrightarrow 2x-4\sqrt{x}+2=0$

$\small \Leftrightarrow 2(\sqrt{x}-1)^2=0$

$\small \Leftrightarrow \sqrt{x}=1\Leftrightarrow x=1\: (t.m)$

Vậy Q nhận giá trị nguyên khi $\small x\in \left \{ 0;1;\frac{7-3\sqrt{5}}{2} ;\frac{7+3\sqrt{5}}{2}\right \}$

C. Bài tập tìm giá trị nguyên của x để biểu thức sau đạt giá trị nguyên

* Bài tập 1: Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên

$\small a)\: A=\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$

$\small b)\: B=\frac{\sqrt{x}+3}{2-\sqrt{x}}$

* Bài tập 2: Tìm giá trị nguyên của x để các biểu thức sau nhận giá trị nguyên

$\small a)\: P=\frac{x^2+3x+3}{2x-1}$

$\small b)\: Q=\frac{x^2-4x-17}{x+2}$

Hy vọng với bài viết Tìm giá trị của x để biểu thức nguyên ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để thầy cô trường Trường THCS Hồng Thái ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Đăng bởi: thcs Hồng Thái

Chuyên mục: Giáo Dục

Bản quyền bài viết thuộc Trường THCS Hồng Thái Hải Phòng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: Trường thcs Hồng Thái (thcshongthaiad.edu.vn)

Nguồn: https://thcshongthaiad.edu.vn
Danh mục: Tra Cứu

THCS Hồng Thái

4 4 minutes read