Uớc là gì và bội là gì? Cách tìm Ước và Bội? Một số dạng bài tập liên quan

Uớc là gì và bội là gì? Cách tìm Ước và Bội? Một số bài tập ví dụ

Toán học lớp 6 là một sự thay đổi hoàn toàn mới về kiến thức dành cho các bạn học sinh. Nó được nâng cao hơn hẳn so với những gì chúng ta làm quen về phần số hay phần hình ở bậc tiểu học. Trong đó liên quan đến phần số chính là những khái niệm có phần trừu tượng như Uớc là gì và bội là gì? Cách tìm Ước và Bội?,… Hãy cùng tìm hiểu về những khái niệm mới này qua những chia sẻ từ Trường thcs Hồng Thái. Khái niệm Ước là gì? Bội là gì? Ước số là gì – Bội số là gì? Hay còn một cách gọi khác đó là ước số là gì. Ước là một số tự nhiên khi lấy một số tự nhiên khác đem chia với nó sẽ chia hết. Hoặc nếu một số tự nhiên A được coi là ước của số tự nhiên B nếu số B đó chia hết cho A. Ví dụ số 8 chia hết cho các số 1,2,4 và 8 thì 1,2,4 và 8 chính là ước số của 8. Ngược lại bội chính là các số chia hết cho một số tự nhiên. Bội số của A là các số chia hết cho A. Ví dụ bội của 4 là các số chia hết cho 4 như 4,8,12,16,20,24,28,… Và như vậy bội số nhỏ nhất của một số tự nhiên chính là số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho số đó. Ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất Nhắc đến ước và bội cùng các bài tập liên quan đến nó thì ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất là nội dung chiếm khá lớn trong phần kiến thức này. Ước chung lớn nhất là gì Liên quan đến ước chúng ta còn có một khái niệm khác liên quan đó chính là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương. Một số nguyên dương b lớn nhất là ước của cả hai số nguyên a và b thì b chính là ước số chung lớn nhất của a và b. Nói một các đơn giản thì ước số chung lớn nhất của 2 hay nhiều số tự nhiên khác nhau là số lớn nhất trong tập hợp ước chung của 2 hay nhiều số tự nhiên đó. Python – Tìm ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất của 2 số nguyên dương – VietTuts Kí hiệu ước chung lớn nhất của các số x, y, z là UCLN (x, y, z). Ví dụ: Tìm ƯCLN của 12; 20; 30 Ta có: 12 = 2² ×3 20 = 2² × 5 30 = 2 × 3 × 5 Suy ra ƯCLN(12; 20; 30) = 2 Ước số nguyên dương và ước số nguyên âm uoc-so-la-gi-uoc-chung-lon-nhat Đầu tiên ta cần nhớ lại số nguyên dương và số nguyên âm. Số nguyên dương là các số tự nhiên bao gồm các số lớn hơn không. Còn số nguyên âm là số tự nhiên nhỏ hơn 0, được biểu diễn với dấu trừ đằng trước. Vậy ước nguyên dương là gì? Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói b là ước của a. Trong đó a > 0 Còn ước nguyên âm được hiểu là: Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói b là ước của a. Trong đó a <0. Lưu ý: a) Nếu các số đã cho không có thừa số nào chung thì ƯCLN của chúng bằng 1. Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là những số nguyên tố cùng nhau. b) Trong các số đã cho, nếu có số nhỏ nhất là ước của số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy. Cách tìm ước chung lớn nhất Để tìm được ước chung lớn nhất của 2 hay nhiều số nguyên dương chúng ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Phân tích hai hay nhiều số nguyên dương cần tìm ước chung lớn nhất ra thành thừa số nguyên tố. Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung của các số trên. Bước 3: Lập thành tích các thừa số đã chọn. Mỗi một thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó và tích đó chính là ước chung lớn nhất mà chúng ta cần tìm. Đối với các bài tập tìm ước chung lớn nhất cần chú ý các tìm ước chung thông qua ước chung lớn nhất. Ngoài ra hai số nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi ước chung lớn nhất của chúng bằng 1. Ví dụ 1: 2 chia hết cho 2 và 1 4 chia hết cho 2 và 1 6 chia hết cho 2 và 1 => 2 và 1 chính là ước chung của 2, 4, 6 Ví dụ 2: Ư(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Ư(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} => ƯC(12, 30) = {1, 2, 3, 6} Bội chung nhỏ nhất là gì? Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp bội chung. Cách tìm bội chung nhỏ nhất và bài tập có lời giải từ A – Z Hay hiểu đơn giản hơn bội chung nhỏ nhất là số nhỏ nhất khác 0 có thể chia hết cho 2 hoặc nhiều số tự nhiên khác nhau. Bội chung nhỏ nhất của a và b được ký hiệu là BCNN(a,b). Ví dụ: Bội số chung của 2 và 3 là tập hợp những số tự nhiên khác 0 chia hết cho 2 và 3 bao gồm 0, 6, 12, 18, 24,… Chúng ta có thể thấy 6 là số nhỏ nhất khác 0 chia hết cho 2 và 3, vậy 6 là BCNN của 2 và 3. Cách tìm bội chung nhỏ nhất Để tìm được bội chung nhỏ nhất của 2 hay nhiều số nguyên dương khác nhau chúng ta cũng thực hiện qua 3 bước giống như tìm ước chung lớn nhất. Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là bội chung nhỏ nhất cần tìm Điểm lưu ý khi làm bài tập dạng này đó là nếu hai số cần tìm bội chung nhỏ nhất là hai số nguyên tố cùng nhau thì tích của 2 số đó chính là bội chung nhỏ nhất. Lưu ý thứ 2 là nếu a mà là bội của b thì a cũng chính là bội chung nhỏ nhất của a và b. Số nguyên tố Ở các bước giải để tìm ra ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất chúng ta có nhắc đến các thừa số nguyên tố. Vậy số như thế nào được gọi là số nguyên tố. hãy cùng khám phá các số nguyên tố qua định nghĩa riêng về nó. Số nguyên tố là gì? Ví dụ, tính chất, bảng số nguyên tố Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ước số là 1 và chính nó. Dựa vào định nghĩa này chúng ta có thể tìm ra rất nhiều số nguyên tố như: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,… Đây đều là các số chỉ chia hết cho 1 và chính bản thân nó. Một số dạng bài tập liên quan đến ước và bội Chương trình toán học của lớp 6 và riêng phần số học thường xuất hiện các dạng bài tập tìm hai số nguyên dương khi cho biết các dữ liệu về ước và bội. Để làm được các bài tập như vậy trước hết chúng ta cần phân tích đề một cách cẩn thận và dựa vào phương pháp chung để có thể giải quyết vấn đề mà đề bài đưa ra. Có hai phương pháp chính để giải được dạng bài tập này đó là: Phương pháp 1: Bám sát và định nghĩa về ước chung lớn nhất để có thể biểu diễn hai số cần tìm. Đồng thời liên hệ với các yếu tố đề bài đã cho để tìm ra hai số. Phương pháp 2: Trong trường hợp không áp dụng được định nghĩa, chúng ta có thể sử dụng mối quan hệ đặc biệt giữa 3 yếu tố là ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất và tích của 2 số nguyên dương a và b. Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md; b = nd với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1 (*) Từ (*) => ab = mnd2; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab => ab = (a, b).[a, b] . (**) Chúng ta hãy xét một số ví dụ minh họa. Bài toán 1: Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 và (a, b) = 16. Lời giải: Do vai trò của a, b là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử a ≤ b. Từ (*), do (a, b) = 16 nên a = 16m; b = 16n (m ≤ n do a ≤ b) với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1. Theo định nghĩa BCNN: [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 => m = 1, n = 15 hoặc m = 3, n = 5 => a = 16, b = 240 hoặc a = 48, b = 80. Chú ý: Ta có thể áp dụng công thức (**) để giải bài toán này: ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suy ra mn = 15. Bài toán 2: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 và (a, b) = 6. Lời giải: Lập luận như bài 1, giả sử a ≤ b. Do (a, b) = 6 => a = 6m; b = 6n với m, n thuộc Z+; (m, n) = 1; m ≤ n. Vì vậy: ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = 6 tương đương m = 1, n = 6 hoặc m = 2, n = 3 tương đương với a = 6, b = 36 hoặc là a = 12, b = 18. Bài toán 3: Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60. Lời giải: Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = 3. Tìm được (a, b) = 3, bài toán được đưa về dạng bài toán 2. Kết quả: a = 3, b = 60 hoặc a = 12, b = 15. Chú ý: Ta có thể tính (a, b) một cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN: Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = 3. Bài tập 4: Tìm các ước của 4, của 6, của 9, của 13 và của 1. Giải: Ư(4) = {1; 2; 4} Ư(6) = {1; 2; 3; 6} Ư(9) = {1; 3; 9} Ư(13) = {1;13} Ư(1) = {1} Bài tập 5: Tìm ƯCLN của: a) 56 và 140 b) 24, 84, 180 c) 60 và 180 d) 15 và 19 Giải: Chi tiết a) Phân tích ra thừa số nguyên tố: 56 = 2³ × 7 140 = 2² × 5 × 7 Các thừa số nguyên tố chung là 2; 7. ⇒ ƯCLN (56, 140) = 2² × 7 = 28 b) 84 = 2² × 3 × 7 24 = 2³ × 3 180 = 2² × 3² × 5 ⇒ ƯCLN (24; 84; 180) = 2²× 3 = 12. c) 60 = 2² × 3 × 5 180 = 2² × 3² × 5 ⇒ ƯCLN (60, 180) = 2² × 3 × 5 = 60 Bài tập 6: Lan có một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 75cm và 105cm. Lan muốn cắt tấm bia thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết, không còn thừa mảnh nào. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông (số đo cạnh của hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị xentimét). Bài tập 7: Hãy tìm ước chung lớn nhất của 2 số 14 và 28. (Biết các phần tử của ước ∈ Z+) Lời giải: Cách tính ước chung lớn nhất là đầu tiên ta phân tích ra thừa số nguyên tố của hai số 14 và 28 như sau: 14 = 2 x 7 28 = 2 x 2 x 7 Ta có các thừa số nguyên tố chung là 2 và 7 Vậy ước chung lớn nhất của 2 số 14 và 28 là: 2 x 7 = 14 Được viết: ƯCLN(14,28) = 14 Bài tập 8: Tìm ước chung của 24 và 30, và ước chung lớn nhất là bao nhiêu? (Biết các phần tử của ước ∈ Z+) Lời giải: Tìm ước của từng số ta có Ư(24) = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 24} Ư(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} => Ước chung của 24 và 30 là: ƯC(24,30) = {1, 2, 3, 6} Trong các ước chung của 24 và 30 ta thấy 6 là ước lớn nhất. Do đó: ƯCLN(24,30) = 6 Bài tập 9: Tìm ước chung của 36 và 120 và chỉ ra ước chung lớn nhất của chúng. (Biết các phần tử của ước ∈ Z+) Lời giải: Cách tìm ước chung thì đầu tiên ta tìm ước của từng số: Ư(36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Ư(120) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120} Trong các ước của 36 và 120 ta thấy có các ước chung là: 1, 2, 3, 4, 6, 12 => Vậy ƯC(36, 120) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Mà trong số các ước chung thì 12 là ước lớn nhất nên ƯCLN(36, 120) = 12 Bài tập 10: Tìm hai ước của 15 có tổng bằng -4. (Biết các phần tử của ước ∈ Z) Lời giải: Vì ước của 15 thuộc Z nên ta có: Ư(15) = { -5, -3, -3, 1, 3, 5} Theo đề bài cho thì tổng 2 ước cần tìm bằng – 4 => Vậy hai ước số cần tìm là: -5 và 1 Một số khái niệm liên quan Số nguyên tố là gì? Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Các số nguyên tố: 2, 3, 5, 7 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 41, 43, 47 53, 59 61, 67 71, 73, 79 83, 89 97 101 … Hợp số là gì? Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn hai ước. Lưu ý: Số 0 và 1 không là số nguyên tố và cũng không là Hợp số. Trong chương trình Toán lớp 6, các em sẽ được làm quen với ước số và bội số. Bài viết Ước số là gì – Bội số là gì? sẽ giúp các em củng cố khái niệm về ước số, bội số, ước số chung lớn nhất và bội số chung nhỏ nhất. Ngoài ra các em sẽ ôn tập thêm về số nguyên và hợp số. Với một số phương pháp giải bài toán về tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất, các em sẽ hoàn thành bài tập tìm UCLN và BCNN một cách nhanh chóng và hiệu quả nhất. Video về ước là gì? Bội là gì? UCLN và BCNN Kết luận Bài viết trên đây là toàn bộ thông tin về ước, bội là gì? Cách tìm ước và bội, UCLN, BCNN và ví dụ. Mong rằng bài viết đã góp phần giúp các bạn làm tốt phần kiến thức này. Chúc các bạn thành công!