Trọng tâm là gì? Khái niệm, tính chất và cách xác định

Trọng tâm tam giác là gì? Khái niệm, đặc điểm và tính chất

Trọng tâm tam giác là kiến thức quan trọng của môn toán trong chương trình phổ thông. Trọng tâm là gì, công thức tính trọng tâm của tam giác như thế nào? Mời các bạn đọc bài viết dưới đây để hiểu thêm về trọng tâm tam giác, kiến thức rất quan trọng và phổ biến trong những năm học phổ thông nhé. Trọng tâm là gì? Theo từ điển Hán Việt, trọng tâm là 重心: 重 là trọng, “sức nặng” và 心 là tâm, “phần ở giữa”. Danh từ của trọng tâm: Vật lý học: Điểm đặt của trọng lực tác dụng vào một vật. Toán học: Giao điểm của ba trung tuyến trong một tam giác. Điểm quan trọng nhất: Trọng tâm công tác, trọng tâm của công việc, trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ giác, trọng tâm con đường,… Trong tiếng Anh, trọng tâm là center, ví dụ: center of weight, barycenter, barycentre. Tiếng Tây Ban Nha: baricentro gđ…. Trọng tâm được hiểu là một vị trí ở giữa của một cái gì đó. Trong toán học trọng tâm là: giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác được xuất phát từ ba đỉnh của tam giác đó. Có rất nhiều định nghĩa về trọng tâm khác nhau trong nhiều lĩnh vực như là: trong tâm của tam giác,trọng tâm của tứ giác, trọng tâm của ngôi nhà, trọng tâm của con đường, trọng tâm của vấn đề, trọng tâm trong vật lý,… Trọng tâm là gì? Trọng tâm trong toán học là gì? Trọng tâm trong toán học là gì? Trước khi tìm hiểu khái niệm trọng tâm của tam giác, chúng ta cần hiểu rõ đường trung tuyến là gì? Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối từ một đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Từ đó ta có khái niệm: Trọng tâm của tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến. G là trọng tâm của tam giác ABC. G là trọng tâm của tam giác ABC. Hiểu một cách đơn giản, khi ta kẻ từ các đường trung tuyến lần lượt từ các đỉnh của tam giác. 3 đường trung tuyến ấy sẽ giao nhau tại một điểm. Điểm giao nhau đó được gọi là trọng tâm của tam giác. Ví dụ: Cho tam giác ABC, từ các đỉnh của tam giác ta lần lượt kẻ các đường trung tuyến AM, BN và đường trung tuyến CP. Gọi G là giao điểm 3 đường trung tuyến ấy. Điểm G chính là trọng tâm của tam giác ABC. Nói cho các bạn học dễ hình dung thì với hình tam giác ABC. Chúng ta kẻ từ đỉnh A sang cạnh đối diện được trung điểm D, kẻ từ B sang được trung điểm E, kẻ từ C sang được trung điểm F. Theo đó, ba điểm này sẽ giao nhau tại điểm G nên chúng ta gọi G là điểm trọng tâm. Tính chất của trọng tâm trong tam giác Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó. Tam giác ABC, với các đường trung tuyến AM, BN, CP và trọng tâm G, ta có: GA = 2/3 AM GB = 2/3 BN GC = 2/3 CP Tính chất trọng tâm của tam giác Trọng tâm tam giác vuông Trọng tâm của tam giác vuông cũng được xác định giống như trọng tâm của tam giác thường. Tam giác MNP vuông tại M. 3 đường trung tuyến MD, NE, PF giao nhau tại trọng tâm O. Ta có MD là trung tuyến của góc vuông PMN nên MD = 1/2 PN = DP = DN. Trọng tâm tam giác vuông Trọng tâm tam giác cân Tam giác ABC cân tại A, có G là trọng tâm. Vì tam giác ABC cân tại A nên AG vừa là đường trung tuyến, đường cao và là đường phân giác, từ đó ta suy ra được hệ quả của trọng tâm tam giác cân ABC như sau: Góc BAD bằng góc CAD. Trung tuyến AD vuông góc với cạnh đáy BC. Trọng tâm tam giác cân Trọng tâm của tam giác vuông cân Có tam giác ABC vuông cân tại A và I là trọng tâm. AM là đường trung trực, đường trung tuyến và đường cao của tam giác này nên AM vuông góc với BC. Mặt khác, vì tam giác ABC vuông cân tại A nên: AB = AC. => BP = CN và BN = AN = CP = AP. Trọng tâm tam giác vuông cân Trọng tâm tam giác đều Tam giác ABC đều, G là giao điểm ba đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác. Vì vậy theo tính chất của tam giác đều ta có G vừa là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ABC. Trọng tâm tam giác đều Cách tìm trọng tâm tam giác Tính chất trọng tâm của tam giác là khoảng cách từ trọng tâm đến ba đỉnh của tam giác. Trọng tâm của tam giác cân cũng sẽ được xác định như những loại bình thường. Thế nhưng đây là dạng tam giác đặc biệt nên chúng ta sẽ xét nó cân tại điểm A của tam giác ABC. Trọng tâm của tam giác vuông cũng sẽ được xác định tương tự như những loại tam giác trên. Thế nhưng bạn cũng lưu ý là vuông tại A của tam giác ABC. Trọng tâm của tam giác vuông cân cũng xác định như trên. Ta cũng xét thêm điểm vuông tại A của tam giác vuông cân ABC. Cách 1: Giao điểm 3 đường trung tuyến Xác định trọng tâm tam giác bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến. Bước 1: Vẽ tam giác ABC, lần lượt xác định trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Bước 2: Nối lần lượt các đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện. Nối A với G, B với F, C với E. Bước 3: Giao điểm I của ba đường trung tuyến là AG, BF, CE là trọng tâm của tam giác ABC. Giao điểm 3 đường trung tuyến Cách 2: Tỉ lệ trên đường trung tuyến Xác định trọng tâm tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến. Bước 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm M của cạnh BC. Bước 2: Nối đỉnh A với trung điểm M, sau đó lấy điểm S sao cho AS = 2/3 AM. Theo tính chất trọng tâm tam giác thì điểm S chính là trọng tâm tam giác ABC. Xác định trọng tâm tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến. Trọng tâm của tứ diện Trọng tâm tứ diện là giao điểm của bốn đường thẳng nối từ đỉnh và trọng tâm của tam giác đối diện. Từ hình ta thấy trọng tâm của tứ diện ABCD chính là điểm G Hướng dẫn chi tiết cách xác định trọng tâm tam giác Để xác định được trọng tâm của một tam giác, bạn có thể làm theo 2 cách sau: Cách thứ nhất Giao điểm 3 đường trung tuyến Xác định trọng tâm tam giác bằng cách lấy giao điểm của ba đường trung tuyến. Vẽ tam giác ABC. Xác định trung điểm M của cạnh BC sao cho MB = MC. Nối A với M để có đường trung tuyến AM. Thực hiện tương tự với các cạnh và đỉnh còn lại, bạn sẽ vẽ được thêm 2 đường trung tuyến nữa của tam giác này. Gọi giao điểm của 3 đường trung tuyến là điểm G. Khi đó, điểm G chính là trọng tâm tam giác ABC bạn đã vẽ. Một số cách giúp bạn xác định chính xác trọng tâm của tam giác Một số cách giúp bạn xác định chính xác trọng tâm của tam giác Cách thứ hai: Tỉ lệ trên đường trung tuyến Xác định trọng tâm tam giác dựa trên tỉ lệ đường trung tuyến. Vẽ tam giác ABC. Xác định trung điểm M của cạnh BC sao cho MC = MB. Nối đỉnh A với điểm M ta được đường trung tuyến AM. Trên đoạn thẳng AM, lấy một điểm G sao cho: AG = 2/3 AM. Theo tính chất trọng tâm, điểm G chính là trọng tâm tam giác ABC bạn vừa vẽ. Cách vẽ trọng tâm của tứ diện Cách 1 Cho tứ diện ABCD. Khi đó, 3 đường thẳng nối trung điểm 3 cặp cạnh chéo nhau đồng quy tại trung điểm mỗi đường. Điểm đó chính là trọng tâm tứ diện ABCD Cách vẽ trọng tâm của tứ diện Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm AB,BC,CD,DA Khi đó ta có : MQ,NP lần lượt là đường trung bình của ΔABD và ΔCBD ⇒ MQ//NP ( cùng //BD ) ⇒ MQ=NP=BD/2 ⇒ MNPQ là hình bình hành ⇒ MP∩NQ tại trung điểm mỗi đường Tương tự chứng minh cặp cạnh chéo nhau còn lại. Vậy chứng minh được trọng tâm của tứ diện Cách 2 Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm của ΔBCD. Trên đoạn AG lấy điểm K sao cho KA=3KG. Khi đó điểm K chính là trọng tâm tứ diện ABCD Cách vẽ trọng tâm của tứ diện Ta có: Vì G là trọng tâm ΔBCD ⇒ GB + GC + GD = 0 KA + KB + KC + KD = KA + (KG + GB) + (KG + GC) + (KG + GD) = KA + 3KG + (GB + GC + GD) = KA + 3KG Mặt khác, vì KA = 3KG ⇒ KA + 3KG = 0 Vậy K là trọng tâm tứ diện ABCD Những kiến thức về đường trung tuyến của tam giác Trung tuyến là gì? Trong hình học, trung tuyến của một tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có ba đường trung tuyến. Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi các góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau. Trong hình học không gian, khái niệm tương tự là mặt trung tuyến trong tứ diện. Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó. Đường trung tuyến được định nghĩa rõ ràng và ngắn gọn như sau: Đường trung tuyến 1 đoạn thẳng là một đường thẳng sễ đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó. Đường trung tuyến của tam giác là gì? Trong hình học thì đường trung tuyến của một tam giác được định nghĩa là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có 3 đường trung tuyến. Trung tuyến 1 tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có ba trung tuyến. Tính chất đường trung tuyến trong tam giác Ba đường trung tuyến của tam giác sẽ cùng đi qua một điểm. Điểm đó sẽ có khoảng cách với đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó. Giao điểm của ba đường trung tuyến chúng ta gọi là trọng tâm. Tam giác vuông là tam giác mà nó có góc là góc vuông (90 độ). Đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ mang các tính chất của một đường trung tuyến tam giác. Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Suy ra nếu một tam giác đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó, tam giác ấy khẳng định sẽ là tam giác vuông. Tam giác ABC vuông ở B, độ dài đường trung tuyến BM sẽ bằng MA, MC và bằng 1/2 AC Ngược lại nếu BM = ½ AC thì tam giác ABC sẽ vuông ở B. Ba đường trung tuyến của tam giác khi cùng đi qua điểm, điểm đó sẽ cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. Giao điểm khi ba đường trung tuyến đi qua một điểm được gọi là trọng tâm. Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm Giả thuyết : G là trọng tâm của tam giác ABC Kết luận : AG/AD=BG/BE=CG/CF=2/3 Đồng quy tại 1 điểm Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại 1 điểm. Điểm đó được gọi là trọng tâm của tam giác. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác đến đỉnh bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến ứng với đỉnh đó. Chia ra diện tích của các tam giác bằng nhau Mỗi trung tuyến chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau. G là trọng tâm của tam giác ABC Một số bài tập về trọng tâm Bài 1 Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI? Bài 2: Cho I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP. Bài 3: Cho G là trọng tâm của tứ diện vuông OABC ( vuông tại O ). Biết rằng OA=OB=OC=a. Tính độ dài OG Một số bài tập về trọng tâm Bài giải Bài 1: Một số bài tập về trọng tâm Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác). Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm). Vậy đọan AI có độ dài 6 cm. Bài 2: Một số bài tập về trọng tâm Gọi trung điểm MN, MP, PN lần lượt là R, O, S. Khi đó MS, PR, NO đồng quy tại trọng tâm I. Ta có ∆MNP đều, suy ra: MS = PR = NO (1). Vì I là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến: MI = 2/3 MS, PI = 2/3 PR, NI = 2/3 NO (2). =>Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC. Bài 3 : Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I. Tính độ dài đoạn AI? Giải: Ta có I là trọng tâm của tam giác ABC và AD là đường trung tuyến nên AI = (2/3) AD (theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác). Do đó: AG = (2/3).9 = 6 (cm). Vậy đọan AI có độ dài 6 cm. Tam giác ABC có trung tuyến AD = 9cm và trọng tâm I Bài 4: Cho I là trọng tâm của tam giác đều MNP. Chứng minh rằng: IM = IN = IP. Giải: Gọi trung điểm MN, MP, PN lần lượt là R, O, S. Khi đó MS, PR, NO đồng quy tại trọng tâm I. Ta có ∆MNP đều, suy ra: MS = PR = NO (1). Vì I là trọng tâm của ∆ABC nên theo tính chất đường trung tuyến: MI = 2/3 MS, PI = 2/3 PR, NI = 2/3 NO (2). Từ (1) , (2) ⇒ GA = GB = GC. Video về trọng tâm của tam giác Kết luận Qua bài viết trên các bạn đã biết trọng tâm là gì và cách xác định trọng tâm của tam giác thế nào rồi đúng không? Hy vọng bài viết trên có thể giúp ích được cho bạn. Trọng tâm rất dễ nhầm lẫn với các điểm khác nên bạn hãy chú ý khi xác định nhé!