Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m – Toán 9 chuyên đề

Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m. Phương trình bậc 2 một ẩn là một trong những dạng toán hay gặp trong các đề thi vào lớp 10, đặc biệt là dạng toán giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m làm nhiều em gặp khó khăn vì không nắm vững được cách giải.

Bạn đang xem: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m – Toán 9 chuyên đề

Bài viết dưới đây sẽ trình bày chi tiết cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m ở chương trình toán lớp 9 để các em cảm thấy việc giải dạng toán này cũng không hề khó nhằn như nhiều em vẫn nghĩ.

A. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m

• Giải phương trình bậc 2 dạng: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Để giải phương trình bậc 2, điều đầu tiên các em cần nhớ là công thức tính biệt thức delta: Δ = b² – 4ac

– Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

– Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

– Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

> Lưu ý: Nếu hệ số b của phương trình bậc 2 là số chẵn (tức b = 2b’) ta có thể tính biệt thức Δ’ để giải biện luận phương trình.

 Δ’ = b’² – ac

Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

• Cách giải và biện luận phương trình bậc 2 có chứa tham số m

Xét các trường hợp của hệ số a:

+ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất.

+ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:

– Bước 1: Tính biệt thức delta (hoặc Δ’)

– Bước 2: Xét các trường hợp của delta chứa tham số

– Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình theo tham số

B. Bài tập minh họa Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m

* Bài tập 1: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau:

x² – 2(3m – 1)x + 9m² – 6m – 8 = 0 (*)

* Lời giải:

Để ý phương trình (*) có các hệ số: a = 1; b = 2(3m – 1) và c = 9m² – 6m – 8

Vì vậy ta tính biệt số Δ’, ta có:

 Δ’ = b’² – ac = (3m – 1)² – 1.(9m² – 6m – 8)

 = 9m² – 6m + 1 – 9m² + 6m + 8

 = 9 > 0

Suy ra: 

Nên sao có 2 nghiệm phân biệt: 

→ Kết luận: Với mọi tham số m thì pt (*) luông có 2 nghiệm phân biệt.

* Bài tập 2: Giải và biện luận phương trình bậc 2 sau theo tham số m:

 3x² – mx + m² = 0

* Lời giải:

Các hệ số của phương trình bậc 2 trên: a = 3; b = -m; c = m²

Tính biệt thức delta:

 Δ = b² – 4ac = (-m)² – 4.3.m² = m² – 12m² = -11m² ≤ 0 (với mọi m)

+ Trường hợp: Δ = 0 ⇔ -11m² = 0 ⇔ m = 0

Phương trình (*) có nghiệm kép: x₁ = x₂ = 0

+ Trường hợp: Δ < 0 ⇔ -11m² < 0 ⇔ m ≠ 0

Phươn trình (*) vô nghiệm.

→ Kết luận: Với m = 0 pt (*) có nghiệm kép x = 0

Với m ≠ 0 pt (*) vô nghiệm

* Bài tập 3: Cho phương trình mx² – 2(m – 1)x + (m + 1) = 0 (*) với m là tham số.

a) Giải phương trình với m = -2.

b) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt.

c) Tìm m để phương trình (*) có 1 nghiệm.

* Lời giải:

a) Với m = -2, pt (*) trở thành: -2x² – 2(-2 – 1)x + (-2 + 1) = 0

⇔ -2x² + 6x – 1 = 0

⇔ 2x² – 6x + 1 = 0

Tính biệt số delta (các em có thể tính delta phẩy sẽ gọn hơn nhé):

Δ = b² – 4ac = (-6)² – 4(2.1) = 36 – 8 = 28 > 0

Suy ra 

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

b) Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi: 

Δ’ = b’² – ac = (m – 1)² – m(m + 1)

= m² – 2m + 1 – m² – m

= -3m + 1

Δ’ > 0 ⇔ -3m + 1 > 0 ⇔ m <1/3

Vậy phương trình (*) có 2 nghiệm khi chỉ khi: 

c) Với m = 0: Pt(*) có dạng pt bậc nhất một ẩn: 2x + 1 = 0.

Xem thêm : Phân tích bài thơ Mùa xuân chín của Hàn Mặc Tử

Khi đó pt có nghiệm duy nhất x = -1/2

Với m ≠ 0: pt(*) là pt bậc 2 một ẩn, có 1 nghiệm khi Δ’ = 0

⇔ -3m + 1 = 0 ⇔ m = 1/3

Kết luận: Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi m = 0 hoặc m = 1/3.

* Bài tập 4: Giải và biện luận phương trình bậc 2 chứa tham số m sau:

(m – 1)x² – 2mx + m + 2 = 0  (*)

* Lời giải:

Để ý pt(*) có các hệ số: a = (m – 1); b = (-2m); c = (m + 2)

+ Xét trường hợp a = 0, nghĩa là (m – 1) = 0 tức m = 1, ta có:

pt(*) trở thành: -2x + 3 = 0 ⇒ x = 3/2.

+ Xét trường hợp a ≠ 0 (m – 1 ≠ 0) tức m ≠ 1, ta có:

Δ’ = m² – (m – 1).(m + 2)

= m² – (m² + 2m – m – 2)

= m² – m² – m + 2

= -m + 2

– Nếu  Δ’ > 0 ⇔ -m + 2 > 0 ⇔ m < 2 thì pt có 2 nghiệm phân biệt:

– Nếu Δ’ = 0 ⇔ -m + 2 = 0 ⇔ m = 2 thì pt có nghiệp kép:

– Nếu Δ’ < 0 ⇔ -m + 2 < 0 ⇔ m > 2 thì pt vô nghiệm

→ Kết luận:

Với m = 1 hoặc m = 2 phương trình (*) có nghiệm duy nhất.

Với m < 2 phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

Với m > 2 phương trình (*) vô nghiệm

* Bài tập 5: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số k:

a) (k – 1)x² + 3kx + 2k + 1 = 0

b) kx² + 2k²x + 1 = 0

* Bài tập 6: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) x² – 2(m – 4)x + m² = 0

b) (2m – 7)x² + 2(2m + 5)x – 14m + 1 = 0

Hy vọng với bài viết Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m ở trên giúp các em giải các bài tập dạng này một cách dễ dàng. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để thcs Hồng Tháighi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt.

Đăng bởi: thcs Hồng Thái

Chuyên mục: Giáo Dục

Bản quyền bài viết thuộc Trường THCS Hồng Thái Hải Phòng. Mọi hành vi sao chép đều là gian lận!

Nguồn chia sẻ: Trường thcs Hồng Thái (thcshongthaiad.edu.vn)